野尻ボード

いまださん、

いろいろとご回答いただきありがとうございます。

「え、でも、そもそも four momentum を定義するとき慣性質量を・・」とか刹那に思うこともありますが、ここまで来たら、真面目に考えてから出直さないといかんですな。 Landau も引っ張り出しましたが、いやああ、やっぱりある程度時間をかけないと確信をもって議論はできないや。

というわけで、この件については時間的精神的余裕ができるまで あるいは、ぼくなんかよりずっと相対論に明るい人が解決してくれるまで はちょっと沈黙しようと思います。

物理では具体的な数値が大事だぞとよく言いますけど、この場合の質量の変化を数値でみても、小さいという以外にはなかなか何とも言えないですなあ。 「ええい、やたら重い獲物だぜ。 このままじゃ運べねえから、とっととぶっ殺して体が冷めて軽くなってから、村に運んで帰ることにしよう」なんて台詞がでてくるためには、どういう状況を設定すればいいんでしょうね。

宿題に答えが必要だとは思っていなかったので，放置してましたが， 出題した以上，レポートは添削しなければ (^^)

(1)ですが，重力のポテンシャルエネルギーが -GMm/r で， 地球質量をM月質量をmとして，M>>mの場合， 運動エネルギーがおよそ 1/2 mv² = 1/2 m (rω)² = 1/2 GMm/r なので， さしひき -1/2 GMm/r だけエネルギーが減っています。 ですから，質量欠損は， 1/2 GMm/rc²。
したがって，質量欠損の割合は， 1/2 G/c² Mm/(M+m) 1/r 〜1/2 G/c² m/r 〜1/2 6E-11 / (3E8)^2 7E22/4E8 〜6E-14
となって，地球月系では，10^-13程度の割合ということになります。

ちなみに，ホットジュピターみたいに，m 〜 10²⁸ [kg], r 〜 10¹⁰ [m] の場合は，10^-10程度に， なります。 近接連星系でも，大体同程度のオーダーです。

ということで，重力相互作用だと，高々 10^-10 程度 つまり100億分の一も変化しないということになります。

(2) 電磁相互作用(化学反応)ですが，電子と陽子の結合エネルギーが，すで出ているとおり 14 eV 程度で，陽子の質量がおよそ 1 GeV ですから， 高々10^-8程度つまり，1億分の一程度。

(3) 核反応ですが。原子核の結合エネルギーは，核子1個あたり 2〜8MeV 程度ということが知られています。ですから，2/1000 〜 8/1000 程度。ということで，3桁の精度で十分変化が判る程度に質量が 変化すると言うことになります。

いやー，Google の電卓機能は，こういった定数の値も覚えて いるうえに単位変換機能もあるので，便利便利。

半澤三智丸　様

物理軍団の皆様の雲の上の議論におじけづいて、これ以上はＲＯＭしてようと思っていたのですが、
私のしょうもない計算にコメントいただいたようなので一言、

まずお断りしときますが、私は一応大昔の工学部の出ですが、物理は一般相対論はおろか
特殊相対論も Ｅ＝ＭＣ^2 の式以外は分ってない素人で、ただ計算が趣味なだけです。
前の書き込みの計算も、月の運動エネルギー以外は結局のところ、理科年表のデータを換算してるだけです。

その結果が正しいかどうかは保証の限りでありませんが、
（私の理解できる限りでは）、今物理軍団の皆さんが議論されてるのは、そのはるか先の話のようで、
そのポイントは、先のたざきさんの書き込み

「仮想的とか、相対的とか、「こう考えれば自明」とか、とか」（2003年09月06日(土)19時34分00秒）

の中ほどにあるように、複合粒子の系としての質量は　M = m1 + m2 + E/(c c) として認めたうえで、
つまり、系の質量欠損は　E/(c c)　（この式はエネルギーＥを光速ｃの２乗で割ったということですよね？）として、
あえて複合粒子系の中にある一つの粒子の質量に注目したら、それはどうなってるのか、
と言う観点から、砂時計問題を一般相対論の中で議論されてるようです。

私が、砂時計の砂の質量欠損が分子1億個などと計算したのは、単に面白いたとえ以上の意味はなかったのですが．．．

　とりあえず、これは書いておかねば……

＞われらの有人宇宙船 日本独自の宇宙輸送システム「ふじ」
　献本していただきました。《ふじ》の概念研究を軸にして有人宇宙飛行の科学、技術、政策を２〜３時間で理解できる、宇宙開発入門書の決定版としておすすめします。「ISS、日本の負担は１兆円超」なんてニュースに驚いた人も、本書を読めば事情がわかります。
　文句としては、《ふじ》から期待される波及効果として、理科教育の振興にも触れてほしかったかな。

＞『第六大陸』（２）
　出てますので、買って読んで突っ込んでやってください＞野田司令ほか。

一般相対論の世界で，素人が不用意に日常的な言葉を用いると間違いの もとなので，不正確かもしれません。「ローカルな時間t」というのは 当該粒子の局所座標系(t,x,y,z)のtで，dt=γdτで固有時と結びつけられる時間 です。俗に，「重力場で時間が遅くなる」とか「速く動くと時間の進み方 が遅くなる」と言われているところの時間だと理解しています。(結局， まだ私にとっては，一般相対論は(擬)リーマン多様体の幾何学のレベルに 留まっていて物理になってないようです。今回，具体的な計算をする 機会に恵まれて，少しだけ物理に近づいた気がします)

> 今の「岩は高いところにあると重くなるか」という問いに答えるだけ

については，重力のポテンシャルエネルギーと運動エネルギーが加法的 に分離されるかどうかは非自明であるので，あのように扱いました。

計算、お疲れ様です。
確かに、思ったよりは大きいですね、質量欠損。

とはいえ、最初、砂時計のとこだけ系で考えてないように見えたんで、あれっ？　と思ったんですが、
リンク先のテキストには、ちゃんと、本来は砂時計と地球の重力結合系なので、砂時計だけに着目するのはナンセンス、と書いてあったので、
自分の理解度がついていっているらしいのがわかってほっとしたんですが。

ところで、系としての質量欠損を導出した後、これを、たとえば砂時計と地球に対して、静止質量比とかの関数で一義的に割り振ることができるのでしょうか？
あるいは、あくまでも系（あるいは場）のポテンシャルとして考えるしかなくて、それを考えるのはやはりナンセンスなのでしょうか？

　ええ、家主の私が沈黙していたために自粛ムードになってしまってはあまりに惜しいので、どんどんやってくださいと強調しておきます＞物理軍団の皆様。このところのやりとりは、金を払ってもそうそう読めるもんじゃありません。
　私のほうは、すでにbk1で予約が始まっている某書の原稿がまだあがっていないという緊急事態なので、このヘビーな話題に取り組む余裕がいよいよなくなってきました。気分転換的に「今日のデ・ジ・キャラットにょは映像詩というべき傑作であった」「カレイドスターもよかった」ぐらいのことは書くかもしれませんが(^^;

↑　あ、「働いている」というのは研究以外のことをしているということです。

いまださん、ありがとうございます。

ここまで具体的に書いていただくと、私もちゃんと本を見て考えないといけないなあと思います。

一応確認ですが、

• 「ローカルな時間t」というのは、その粒子と同じ位置にいる人がもっている（ちゃんとした）時計で計った時間のこと
• 今の「岩は高いところにあると重くなるか」という問いに答えるだけなら、別に粒子を水平方向に運動させなくてもいいですよね。 止まったまま重量を見ればよい

という風に理解していいでしょうか？

ええと，数式を使わずに説明すると，運動量の時間変化が力である， という定義に従って，一様な重力場中にある滑らかな水平面上を 面内で運動する粒子が，重力に抗して面上にとどまるために面が 粒子を支えている力（面の垂直抗力）を，その局所の時間，空間 座標で計算してみましょう，という方針です。こうやって， 重力場中で運動する粒子の重量を計算してやろう，という方針です。 もちろん，これを重力加速度で割ることで，この座標系でのローカルなみかけの重力質量が 出てくると考えた訳です。

その計算の詳細は割愛させていただいて，計算の方針だけ書きます。たぶんこれで私の計算の再現や間違いの発見は十分できると思いますし， 数式の不得意な方でも，この程度ならば眺めれば雰囲気くらいは判るのではないかと。

一般相対論の運動方程式を固有時ではなくローカルな時間tを用いて書き直して，
dP_μ/dt = F_μ/γ + m₀γ Γ^α_μβv_αv^β
記号は標準的な記号だと思いますが，Pは四元運動量，Fは四元力，γはローレンツ因子 γ=dt/dτ，vは速度ベクトルでv=(c, dxⁱ/dt)， τは固有時，m₀は静止質量，Γはクリストッフェル記号。

この右辺第2項が重力，第1項が重力以外の力となって，重力は G_μ=m₀γ Γ^α_μβv_αv^β

あとは，これに計量をいれて計算して，重力加速度で割って，質量 を算出しました。（操作的には垂直抗力云々と書きましたが，計算的には単に 重力の符号を変えただけですから）

それで，ずーっと話を戻して，田崎さんが，運動方程式に 「高さ」が入らないと書いておられましたが，陽的に高さの項 は見えませんが，接続に高さというか重力のポテンシャルが入って くるので，共変微分の中に隠れていると思うのです。もちろん， 上の計算でも，クリストッフェル記号の中に入っている訳です。

素人がエラそうにしゃしゃり出て，あげくに長文と数式を吐き散らかして 失礼しました＞野尻さん

書いております。

野田さんの書かれたのを読むと、その変化する「質量」は、けっこう厄介なもののようですね。 たとえば、砂粒と実験器具と人間の入った部屋を用意し、その部屋のなかで実験するだけで、その質量の変化が測定できるか、というとどうなんでしょう？　野田さんの「質量」は、そうやっては、はかれないようですね。

一方、いまださんの書かれたのを読むと、なんとなく、部屋の中ではかれるように読めます。そこはどうなんでしょう？　どういう計算をされたのかわからないのですが、時間のあつかいがどうなっているの気になります。

最上さんも書かれていますが、電磁気力で引き合っている二つの粒子の場合は、全体の質量は変化しても、個々の粒子の質量はもとのままです。 重力でも同じようになるのではないかと思いたいのですが、時間が狂ったりと、話がややこしい。

いまださんが示してくれた
g⁰⁰ = -(1-2GM/c²r)
m = m₀γ√(-g⁰⁰)
を使って一次近似してみたところ、高いところにある砂粒は、位置エネルギーが増えた分だけ、質量も増える事が計算できました。
一次近似で計算しただけので、空間の曲がりが極端なところまで通じるかどうか保証はできませんが、少なくとも地球の表面程度なら、通用しそうです。

上の計算が正しいなら、砂粒の重さを量れば、高いところほど重い筈です。
問題は砂粒の質量をどう測るかですね。
単純なバネバカリや天秤で測り、ハカリそのものの高さを変えると測定できません。
ハカリを地表なら地表に固定した状態で、棒を伸ばして、高いところと低いところの砂粒の重さを測ったら、判るかも知れません。もっとも、質量の増加よりも、地心から離れることによる引力の減少の方が大きいので、測定は困難を極めるでしょうが・・・

前野さん、みなさん、

いま、ビールを飲みながらタイプしましたので、いいかげん、かつタイポだらけかもしれませんが、ともかく、

http://www.gakushuin.ac.jp/‾881791/temp/plates.pdf

に計算をおいときます。 やたら対称性のいい場合に Maxwell 方程式の解をえいやっと作るだけの話なので、学部の電磁気で完璧にわかる話です。 （というか、ただ電磁波の解をだすよりも、こうやってソースからきちんと作る方が教育的だと思うなあ。） ただし、このノートははしょりまくっている（し、きっと間違いが多い）ので読みにくいですが。

最終結果が予想と２倍ずれたのは前野さんのおっしゃるように、昔ながらの話でしょう。 どうも、あのへんって勉強不足でいかんなあ。

あ、いまださん、

詳しいお返事ありがとうございます。 今日は、もうそろそろ寝ますので、明日、きちんと読ませていただきます。

最初に断っておきますが，私はプロのプロパーな物理学者では
ございません。と言い切ってしまうと少し悲しいので，物理学の
周辺領域で細々とやっている，という程度にしておきます。
一般相対論に至っては，15年ほど前に少し「場の古典論」を読んだり
した程度で，まったくの素人にすぎません。もちろん，だから，
発言に責任を持たないとか，そういうつもりはないですが。
それから，手元に，相対論の教科書の類が全くない状態で書いて
いるので，本に出ていますかといわれても回答できないです。
ごめんなさい。

で，最初に田崎さんの質問に対する回答ですが，E/c²を「質量」
と言っているのは，特殊相対論における相対論的質量の議論の延長
として，「質量-エネルギー保存則」から私が勝手にでっちあげた
説明にすぎません。もちろん，これだけでは，物理的意味としては，
エネルギーを言い換えただけにすぎず，中身の乏しい耳障りのよい
（悪い？）言葉遊びにすぎません。

ところで。
そもそも，操作的に，m = F/a で質量を定義しようとした場合，
先に書いた縦質量・横質量の議論になってしまうと思うのです。

そもそも，運動エネルギーについて，「質量-エネルギー保存則」
を考えるならば，相対論的質量つまり静止質量にローレンツ因子
をかけたものが出てこないといけません。

しかし，相対論的に正しく，m = F/a を考えようとすると，
Fⁱ=dpⁱ/dτ=m₀(d/dτ)²xⁱとなってしまって，
静止質量しか出て来ませんし，固有時を用いずに時間で2回
微分するならば，縦質量と横質量の問題が出てきて，運動方向
と力の作用方向のなす角に依存して質量が変化してしまいます。

こういう事情があるので，特殊相対論の範囲ですら，相対論的
質量を操作的に定義しようとすると，力と加速度の比からの
定義ではうまくいかないのではないかと思うのです。特殊相対論
での相対論的質量は，運動量と速度の比から定義される訳です
から，それと等価な操作的な定義が必要かと思います。

一般相対論の運動方程式でも同様の議論になってしまって，
慣性に従って正しく定義すると慣性質量しか出てこないと
思うのですが，こちらはマジメに計算していないので
もしかしたらうまくいくかもしれません。

と，ここまで書いて，マジメに計算しないで掲示するのも
無責任だと反省して，頑張って計算してみました。といっても
一般的な場合ではなく，一番簡単な一様な重力場(重力の方向
をz軸方向として)の中で，その重力と垂直な方向(x軸方向)に
一定の速度で動いている物体の重量，つまり重力から，逆に
質量を計算してみました。運動方向が横向きなのは，特殊
相対論で横質量が相対論的質量になったことからスタート
して，その一般相対論的拡張というつもりです。で，途中計算は，
省略しますが，結論は，
m = m₀γ√(-g⁰⁰) になると思うのです。
（計算間違いがあったらゴメンナサイ）。
これは，この前の質量エネルギー保存則から出してきた
(いまだ流？)相対論的質量に一致するので，やはり，ただの
言葉遊び以上のちゃんとした物理的意味が与えられそうな
気もするのですが，如何でしょうか？

前野さん、

ぼくも、Feynman の二巻を見るべきかなと思っていたところです。

しかし、極板を支える方法には、いろいろあるはずなのに、何で必ず電場のエネルギーと等しいエネルギーをもつんじゃろうと不思議でなりません。

いずれにせよ、Maxwell equation の解を書き下したので、面倒ですが、肝心の式だけを TeX でうって見ていただこうと思っとります。 それで確かに二倍だったら、真面目に二倍の謎を考えよう。 いやあ、教育的。

ところでですね、前野さんの図解の説明で、本当に加速度に比例する力が働くことがわかりますか？　普通の電磁誘導の力とかはみんな速度に比例する力ですよね。だから質量の増加というよりは抵抗力。 ぼくの計算でも、速度に比例する力がでそうになって、それがうまくキャンセルして加速度に比例する力がでてきます。 このあたりはけっこう絶妙で、なかなか言葉では説明できない。

と書きながらも、なんとなく記憶がよみがえってきて、２倍というのは普遍的なんじゃないかという気がしてきた。

「何がなんでもE=mc^2」の方、コンデンサーの極板が動かしにくくなる原因の力について、図的説明を加えてます。結局はアルビレオさんが指摘してくださったとおり、電磁誘導を使って力を説明してます（定性的にです）。

　ところでたざきさんが力を計算して倍になってしまった件ですが、極板が閉じてしまわないように支えている力を計算に入れてない分ずれている、ということはないですか。
　ポアンカレだかローレンツだかが電子を球殻と仮定して計算した時には、電子の形を保つ力を考慮しないと質量と運動量の係数がずれたはずです。ファインマン物理の「電磁波と物性」の巻に詳しく書いてあったと記憶してます。

　もっとも、この辺りに深入りすると、「遁走解」とかが出てきて、因果律が問題になったり、とややこしくなるんですよね、確か（これも記憶に頼って書いてますが）。

　こないだから長文書かせてもらってますが、せっかくなので自分のページ の「いろもの物理Tips」なるコーナー（上のＵＲＬです）に、図つきで改訂 したものを載せてありますんで、ここの文章だけではようわからんかった、 という人は見てみてください。図がある分理解しやすいかも。
何がなんでもE=m^2（電磁気編）
と、
静電荷の位置エネルギーはどこにある？
です。「何がなんでもE=mc^2（重力場編）」は現在時間稼ぎ中ですが(^_^;)。

ちょっと自己突っ込み。
構成粒子の質量が変わらないけど、系の全体では質量が変わるというのは特段、一般相対論的現象というわけでは無いようです。

以下のように、重力のポテンシャルエネルギーの変わりに電荷でも似たようなことはおきます。

二つの電荷の距離をＲとします。二つある電荷のうち一つにぐいと接近して、Ｒよりずっと小さな距離ｒ以内でこの点電荷の質量を測定してみるとどうなるかを考えてみます。この電荷をc/r程度の周波数で小さくゆすってみて質量を計るとします。するとこの質量は一個の電荷にたいして同じ方法で質量を計った場合と変わりません。距離ｒの内側での電場の配置とエネルギーがほとんど変わらないためです。


（しかし電荷の符号が反対の時はそれぞれの質量の和よりも全体の質量が小さくなるわけで、それでそれぞれの質量が変わらないのなら、電場のもっている慣性質量はマイナスか！と一瞬焦ってしまいました。もちろんそんなことはありません。）

以前、東大の流体力学の権威の久保田先生（今年３月退官）に「ウイングレットの効果を確認しようと風洞実験したが結局判らなかった」と聞いた事があります。
先生の得た結論は「ウイングレットの効果は格好よいこと」
別に東工大が負けた原因がウイングレットのせいとは言いませんが・・・・
（そういや、私って後期から授業が・・・）

＞「視点」を遠くにおくのはいいとして、それで、どうやって「質量」をはかるんですか？
確かに、それが私の考え方の最大の問題ですよねえ
たざきさんの言うように慣性質量なら簡単のようですが、力の伝達にも相対論的影響が現れないように細心の注意が必要です。

ま、掲示板なので楽しければいいってのは了解したうえで、でも、あまりに「何でもあり」ではかえって楽しくないと勝手に思うので、少し。

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「○○という概念は、しょせんは、仮想的なものだから、○○が××すると言われても驚くことはない」とか「○○というから難しく聞こえるのであって、○○とは要するに△△のことだと思うことにすれば、△△が××するなんて、ほぼ自明だ」というノリで「納得」される人が多いみたいですねえ。

そういうのって、確かにかっこよく響くし、あまり悩まないで納得できるので手っ取り早いのかもしれない。 でも、もし、そんなんだったら、なんでもかんでも言葉の言い方の問題になってしまって、なんにも面白くない。

物理にでてくる概念が「仮想的」なのか「実体」なのかっていうのは、ややこしい（というか、どうでもいい）話で、結論などでない話だと思う。 電場が実体かという議論も、「電場の方程式も知っているし電場にエネルギーもたまるから実体だ」と答えてもいいし、「あくまで観測可能なのは電場が電荷に及ぼす力だけなのだから、電場は実体ではない、便利のための概念である」と答えてもいい（後者の解釈は気持ち悪いけど、論理的に不可能と言うことはない）。 （だいたい、アホみたいにテツガク的にものを考えたら、世界が実体かどうかだって証明はできないわけだし。）

重要なのは、実体か仮想的かという話じゃなくて、物理の概念には、基本的にはきちんとした「操作的な」意味がついているということ。 つまり、この世界で、何をどうしたとき、どういうところに、どういう風に顔をだすかってことをはっきりとさせながら、概念を作っていっているということ。

この掲示板の書き方をみていても、物理屋さんが書いているところは、かっこいい用語よりも、「ここで、電極をぐっと押すと」とかみたいに妙に具体的な作業がでてくることが多い。 これは、別に素人相手だから卑近に言おうとしているのではなくて、物理屋として物理の概念の根本の精神を伝えようとしているからなんだと思う。

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で、今回の話題の「質量」について言えば、これは、もう「ものを押したときの手応え」というまさに操作的な定義がすべての出発点になっている。

もうちょっと、ちゃんと言えば、ニュートンの運動方程式 F = M a に出てくる M、つまりある力でものを押したときの加速度から決まる M が、質量。 で、このような意味での質量が、複数の粒子が集まった系なんかにおいては、どうふるまうかという話になる。

たとえば、m1 と m2 の質量をもつ二つの粒子が何らかの理由でくっついて一塊りになったとする。 この一塊りを、かたまりをこわさないようにしつつ、全体に F の力をかける。 そのときの全体の（重心の）加速度 a と F = M a から、この一塊りの質量 M を決める。 とうぜん、M = m1 + m2 と予想されるし、普通に実験すれば、そうなる。 これがニュートン力学の世界。 （よって、一連の議論を高校物理の範囲で理解することはできません。 高校でならうニュートン力学では、複合粒子の質量は、構成要素の質量の和です。 それで、日常の現象はほとんど記述できる。）

で、次に同じことを特殊相対論の世界で（つまり、粒子のエネルギーがめっちゃでかい状況で）やってみる。 まず気づくことは F = M a は、そのままで成り立たないこと。 でも、速度が小さいときは、大丈夫。 そこで、静止していた粒子に力を加え、あまり速くならないうちに加速度 a を求めれば、質量 M が決められる。 （これがいいたくて、「ちょこっと押してみる」とか書いてしまった。） これが慣性質量、ないしは、静止質量。（ぼくは区別していない。）

次に、複合粒子の質量。 上で書いたように、二つの粒子の塊を一塊りと扱って、その質量 M を（やはり上に書いた意味で）求めると、なんとその結果は m1 + m2 には、ならない。 粒子二つがばらばらになっていて静止しているときとのエネルギー差 E を使って、M = m1 + m2 + E/(c c) と書ける、というのが、今回の出発点になったお話。

注意してほしいのは、これは「言葉の言い換え」でもないし「・・・と考えれば自明なこと」でもない。 「押したときの手応え」で決めた質量が、構成要素の質量の総和にはならないのだ。 あるいは、余分なエネルギーが「押したときの手応え」に寄与するのだ。 定義や用語の問題じゃなくて、（この効果が大きければ）手で押して実感できる（はずの）効果なのだ。 （でも、ぼくらは低エネルギーの世界で進化したので、こんなことは、直感的にはまったく自明ではない。）

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この掲示板で「砂時計問題」として議論されてきているのは、以上のことは完全に認めて理解したとして、それでは、複合粒子系の中にある一つの粒子の質量に注目したら、それはどうなってるんじゃ、ということ。

これは、実は当たり前の出題じゃなくて、こういう問いを発するたびに、「じゃ、ここでの質量って何だ？」と考え直さなくてはいけない。 たとえば、中性子は（ほぼ）三つのクォークからできているけれど、「このときの、単独のクォークの質量は？」っていう問いにはおそらく意味がない。 なぜなら、単独のクォークの質量をはかるまともな操作的な方法がないから。

でも、平地においた岩と山の上においた岩の質量は、という問いならば、かなりましだろう。 これなら、答えうるんじゃないだろうかと思って、ずっと前の掲示を書いた。 ただし、やはり重力が絡むと色々と難しいことがあって（今は書くのが面倒になってきたので書かない）、考察中、というか、時間稼ぎ中。

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前野さんが書かれたように、電磁力の問題にすれば、複合系の質量変化の話も、複合系の中の一方の粒子（極板）の質量が他方の影響を受けないということも、すっきりと理解できるはず。

というわけで、前野さんの出題された平板コンデンサーの例を、応力テンソルなどと言わず、マックスウェル方程式をベタに解くという方針（学部の電磁気の知識でオッケー）で、やっています。 さっき電磁場を求めて、力も出して、さあできたぞ、これを元にして明確な解説をしよう！ --- と思ったのですが、どうも質量の増加分が予期した答えの２倍になってしまっているではありませんか。 無限に薄い板状の電荷分布でしょっちゅうある間違いは犯していないつもりなので、いまいち、混乱中。

というわけで、端から深く考えずにどんどん書いていってだんだん疲れって終わりになった長文でした。

　割り込みですが、お忘れなくということで。

野田さん、

「視点」を遠くにおくのはいいとして、それで、どうやって「質量」をはかるんですか？

たざきさん
＞「グローバルに見た質量」
あんまり標準的な言葉ではないと思いますが、相対論の場合、視点を決めておかないと話が滅茶苦茶になるので、基準となる視点を
・地球重力の及ばない無限遠方
・地球との相対速度ゼロ
に置いて居ることを明示しているだけです。

例えば、「トップを狙え」の例なら、ブラックホールから十分に離れた(例えば地球)から見れば、事象の地平近傍に居た主人公達の時間がゆっくり見えます。これと同じような視点で見た事を「グローバルな視点」と言っています。
逆に主人公達の視点から見れば、ブラックホールから離れた地球の時間は「速く進む」ように見えます。これを「ローカルな視点」と呼んでいます。

いまださん＞
先のいまださんの書き込の中で、
＞手元に場古典か内山があれば，よかったんだけど。
とありますが、前者は『場の古典論』ですよね。
後者は『相対性理論 内山龍雄著 ISBN4-00-007748-1』ですか?
場古典は手元に無いですが、後者が予想通りなら、今、手元にあります。

いまださん＞
＞うにゅ〜
＞え，あ，どこか符号間違えたかな。
＞＃得意技だからなぁ。
＞でもでも。
＞>『地球に近付くほど小さくなる』
＞>『高いところの砂粒ほど、質量が大きい』
＞ええと，同じことのような。
あ、すいません。
同じなら良いんです。

と言うか、私のさっきの書き込みの中で、
『いまださんの書き込みに疑問が生じています』と言う書き方をしたのが悪かったです。

元もと、私の最初の書き込みで『高いところの砂粒ほど、質量が大きい』と書いたところ、江川さんの書き込みで、『そりゃ、逆だ』と指摘されていますよね。

いまださんの先の書き込みの題名が『前野さんの説明に対する蛇足な補足』とあったものですから、その前の前野さんの書き込みとともに、江川さんの書き込みに対する補足になっていると勘違い(?)したものですから、申し訳ありません。

いまださんの先の書き込みで書かれた式が正しくて、『高いところの砂粒ほど、質量が大きい』と言う事に合意されるのなら、いまださんと私の意見は一致していますね。

ええと、まず断っておくと、ぼくはプロの理論物理学者ですけど、一般相対論は本を何冊か読もうとしただけでプロではありませぬ。

それで、一様な重力場中にある岩の質量（水平に軽くおして（速度がのろい間の）加速度から決める質量）は、高度に依存しないだろう、と前に書きました。 ただし、これについては、その後、力の基準をどうするかといった色々なことを考えると、問題設定からして自明じゃないなあと悩みはじめています。 （でも、依存しないと思っているんですが。）

一方、野田さん、いまださんのお話では、「岩の質量は g00 つまり高さに依存する」ということになっていて、一般相対論の式も登場しています。プロっぽい。

で、（別に陰険にケチをつけようというんじゃなく）まじでわからなくて質問したいんで、質問させてください。

• 野田さんは「グローバルに見た質量」という用語を繰り返し使われていますが、これってどういう意味で言ってるんでしょうか、あるいは、標準的な用語なんでしょうか？
• いまださんは、重力場中の粒子のエネルギー E（保存量にになる）の表式を書かれ、それを c の二乗でわったものを「質量」と呼んでいます。 それって、どういう意味での質量なんですか、というか、それを質量と呼ぶって本に書いてあるんですか？

無責任ですが、一般相対論の本（どれも分厚い）を闇雲に開く前に聞いておこうと思って。

え，あ，どこか符号間違えたかな。
＃得意技だからなぁ。

でもでも。
>『地球に近付くほど小さくなる』
>『高いところの砂粒ほど、質量が大きい』

ええと，同じことのような。

地球に近い＝低いところほど質量が小さい　
高いところほど質量が大きい

相互作用が0の状態つまり無限遠方にあるときがポテンシャルの
原点，つまり0で，重力ポテンシャルの底に落ちると，エネルギー
を失う訳です。たとえば，ロケットは，重力ポテンシャルの井戸
から脱出するために大量のエネルギーを必要とする訳です，なんて
野田さんには釈迦に説法ですみません。

と思いつつ、いまださんの書き込みに疑問が生じています。

g⁰⁰ = -(1-2GM/c²r)
m = m₀γ√(-g⁰⁰)

上の式で、m₀は、地球から無限遠方に離れ、かつ静止した状態での砂粒の質量、m は、地球の中心から半径 r のところにある砂粒の質量をグローバルな視点から見た時の質量ですよね。

√(-g⁰⁰) は、一番目の式から、無限遠方で『１』で、地球に近付くに連れて、小さな値になってますね。（半径rが小さくなりすぎると、虚数になりますが、これはシバルツシルト半径以下になっているのでしょう）

とすると、 m は、√(-g⁰⁰)に比例しますから、『地球に近付くほど小さくなる』のですよね？？？

やっぱり、『高いところの砂粒ほど、質量が大きい』ような気がしますが、どっかで勘違いしているのかな？？

ついでに、砂時計のほうも計算してみました。
詳細は、上のリンクのテキストファイルの最後に追加してありますが、
結論は（あえて誤解を招く言い方をすれば）、
ひっくり返した砂時計の砂は、自重の１０００兆分の１ほどの割合で重くなる、ということです。
（砂時計の砂が１０グラムで、１０ｃｍ落ちると仮定）

この質量は砂の成分が石英（SiO2）として、その分子１億個分に相当する。
（案外大きいじゃん、という気もしないか？）

あれこれ計算してるうちに、スレッドのほうは先に進んでしまって、ほぼ結論も見えてるようですが、
いまださんの出された練習問題の回答がいつまでもないのは気になるので、ちょっと計算してみました。
（といっても地球-月系以外のやつは、ほとんど理科年表のデータの単位を変換しただけですが）
計算の詳細は長いので、ご関心の方はリンク(http://www2s.biglobe.ne.jp/‾ken-ishi/kesson.txt)
のほうを見て頂くとして、結論だけ書くと、

（１）地球-月系の質量欠損(重力反応)
およそ４億トン、月の質量の２０００億分の１強（5.809ｘ10^-12）
地球−月系全体に対する割合では１４兆分の１ほど（7.059ｘ10^-14）

（２）水素原子の陽子-電子系の質量欠損(化学反応の世界)
およそ７０００万分の１ほど（1.4485ｘ10^-8）

（３）重水素原子核の質量欠損(核反応の世界)
2.2 MeV、１０００分の１強（1.18ｘ10-3）

ほどの割合で質量欠損が発生するとの答えになりました。
　計算してて思ったのは、（２）の化学反応の世界で発生する質量欠損は、
精密な質量測定ができれば実験的に確認可能なレベルなのではないかということです。
（３）の重水素原子核以外は、答えを確かめることができなかったので、どなたかご存知でしたらお教えいただけると幸いです。

ややこしい話をしている途中で申し訳ないのですが、１１月から始まる
以下の作品の関係者がここに居たりしますでしょうか？
NHKアニメワールド：ふたつのスピカ
宇宙飛行士をめざす少女アスミと、仲間達の青春ファンタジー
かつて有人宇宙探査ロケット「獅子号」が市街地に墜落し、その事故で母親を失った少女アスミ。
宇宙飛行士になる夢を心に抱いてきたアスミも中学3年生。
いよいよ進路を決めるときがきた・・・。
夢の実現・成長物語を軸に、キュートでせつなく描かれたＳＦファンタジーをさわやかにささやかに描きます。
原作：柳沼行（コミックフラッパー連載）、監督：望月智充（海がきこえる）、脚本：中瀬理香、キャラクターデザイン：後藤真砂子

原作があるのだから考証は必要無いのかもしれないけれど。
種子島から打ち上げた宇宙ロケットが市街地に落ちる確率・・・
しかしマンガ原作の方がアニメ化しやすいのかな
--------------------------
ついでに、ちょっと専門の事も。
2003年09月05日 オゾンホール：発達左右する微量ガス連続測定に成功　環境研

この記事はわかりにくいのですが、NO_Xが1/10以下に減ってるのは
硝酸三水和物(NAT)という氷粒子に変化してるからなのです。このNATを核にしてPSCが成長し、
南極の春先（8月下旬）にこのPSCが融けてオゾン破壊物質を放出する為に
オゾンが多量に破壊されるのです。なのでフロン規制とは別次元の現象だと思われます。
まあ、いい時期に衛星を打ち上げたなという感想です。

運動方程式なんかは他のかたにおまかせしときますが、みなさん必要以上に難しく考えようとしてしまっているのではないでしょうか？
たとえば砂時計をひっくり返す操作を運動方程式に当てはめようとすると、その途中の行程を考慮する必要がありますが、知りたいのは「ひっくり返す前」「ひっくり返した後」の２つの状態の差を知ることです。
途中の過程は無視しても問題ないはずです。「運動」を扱わなければ、相対論を持ち出さなくても説明可能ではないかと思って書いてみます。

まず「エネルギーとはなんらかの仕事をする能力である」と。
私の乏しい知識では、物理学で言うエネルギーとはつきつめると「運動エネルギー」と「位置エネルギー」の２種類しか存在しないような気がします。
ここまでの話で出てきたように、化学結合や原子核の結合エネルギーなども最終的には位置エネルギーとして扱えるようなので。
この定義はちょっと自信がありませんが、今回の話に限ればこの２つに限定してもいいでしょう。

●ひっくりかえした砂時計●
運動エネルギーを決めるには対象物と観測者の２つだけで決めることができます。
ところが位置エネルギーを決めるには対象物の他に位置エネルギーを与える存在（位置エネルギーの基準となる存在と言ってもいい）が必要です。
この２つのエネルギーの意味は、こういう風に置き換えるとわかりやすくなります。

運動エネルギー：慣性による「力」が仕事をする能力
位置エネルギー：相互作用による「力」が仕事をする能力

位置エネルギーの正体が相互作用なのに、砂時計だけを見て「質量が増えてるの？」と考えてしまうから混乱してしまった気がします。
いまださんのコメント
＞太陽-宇宙船系のトータルのエネルギーあるいは質量で考えてやれば紛れがありません。
の言い換えですが、
「砂時計に働く重力」からエネルギーを知ろうとするのが間違いで、「砂時計-地球の間に働く相互作用（地球もひっぱられている）」で考えないと、前者では「砂時計が外から何かの力で引っ張られている、しかも引っ張る力が強いほど（地球に近いほど）砂時計の質量は小さくなる」というおかしな結論になってしまっているようです。

繰り返しになりますが、位置エネルギーは「相互作用」なのだから小石だけに注目すると見えなくなります。
相互作用を無視する条件を設定しておいて、「位置エネルギーは仮想である」という方向に持っていくのはミスリードでしょう。
あきらさんのコメントの
＞位置エネルギーというのは結果のことである
というのも、エネルギーというもの全てが結果から導き出される仮想のものであるという風にはいえるでしょうが、位置エネルギーだけを特別なものとしてしまうのは非常に違和感があります。（単に理解しにくいから仮想ということにしようとしているというか）
運動エネルギーは実在して位置エネルギーが仮想のものとするなら、重力や電磁力は仮想のものだと言っているようなものではないでしょうか？

●突然頭上に木星が現れたら●
頭上に木星があれば小石に働く重力は相殺されて小さくなりますが、小石が地表から動かないのであれば、隣に木星があろうがブラックホールがあろうが位置エネルギーを決める基準が小石と同じ位置であれば小石が持つ位置エネルギーは変わりません。
小石が木星のほうに落ちていけば、地表から見た「地球-小石」系の位置エネルギーは木星の重力という外部からの力により増大していきます。木星は系の外からエネルギーを与える存在でしかないわけです。
木星の影響を考慮に入れるなら、はじめから「地球-小石-木星」の系で考えないといけません。
だから比較する対象は、
・木星が無限遠の場所にあるとき（木星からの重力が極小）
・木星がすぐ頭上にあるとき
の２つになります。
お互いに静止しているものとして運動エネルギーは無視すれば、当然「地球-小石-木星」が持つエネルギーは木星に対する位置エネルギーの小さい後者の方が小さくなります。

●高さが違えば動かしにくくなる？●
このパラドックスは高い位置にある石を動かす力と、低い位置で動かす力が同じエネルギーを持っていると仮定してしまっていることが間違いの元です。
「地球-小石」の系の中で考えれば、力を与える存在の位置エネルギーも考える必要があります。
地表にいる観測者が小石に向かって弾丸を発射したとき、地表にある小石なら弾丸の速度はそのままですが、高い位置にある小石を動かすには弾丸が小石の位置まで上昇する必要があり、そのために運動エネルギー→位置エネルギーの変換が行なわれて弾丸の速度は減少し小石が動く量は少なくなります。
結論として「観測者から見れば（←重要）高い位置にある小石は動かしにくい」ということになります。
弾丸の発射位置が常に小石と同じ高さだと考えるのは、位置エネルギーを与える存在である地球を無視することになるので、位置エネルギーによる結果の差がなくなってしまうのは当然と言えます。

結局、位置エネルギーを決めるには観測者の位置を明確にしなければいけないのに、注目する対象に合わせて無意識に変えてしまったのが混乱の原因のようですね。
巻き上げたゼンマイの重さはお手上げです。

興味深い議論が続く中、つまらない部分に拘って申し訳ないのですが...

「突然、地球がなくなった場合の物体の位置エネルギー」とか、「突然頭上に
木星が現れた時の位置エネルギー」などという思考実験が、よく登場するので
すが、これにはとても違和感を感じます。

「突然、静止状態から光速の90%速度になったとして、運動エネルギーは変化
するだろうか？」というのと同じ感じがします。

前野さんがおっしゃるように、地球と物体は重力場を介して相互作用している
ので、物体に影響を与えずに地球を取り去ることはできないのではないでしょ
うか？

＞タイムマシン

こんな記事がありました。

http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20030903-00000004-wir-sci

方法論としては間違ってないような気もしないでもないのですが。

1) 電場の蓄えるエネルギー
ファラデーにならって，電気力線のイメージで考えると，
電気力線という「バネ」をムギュっと曲げるという形で
イメージしやすいかもしれませんね。

2) 重力場の位置エネルギーと時間
運動量保存則が，空間的な並進対称性に由来し，
角運動量保存則が，空間的な回転対称性に由来するのと
同じように，エネルギー保存則が，時間方向の並進対称性
に由来する。つまり，
考えている系を
　宇宙のどこに持っていって，どの向きにおいても変わらない
というのが，それぞれ運動量保存則と角運動量保存則の源で，
　いつの時代でも変わらない
というのがエネルギー保存則の源である，という解析力学の
結果があります。

これを意識すると，時の刻みが変わることでエネルギーが
蓄えられるというのも理解しやすいかもしれませんし
四元運動量の第0成分にエネルギーがくることも，理解
しやすいかもしれません。つまり，時間軸方向の動きに
対する運動量がエネルギーなのだというわけです。って，
かえって混乱させるだけかも知れませんね。やっぱり蛇の
足でした。

ただ，この解析力学で学ぶ事柄（ネーターの定理）の
数式によらない説明は私の手に余るようです。
　＜ちゃんと判ってない証拠なんだろうな。

＃ランダウの力学(*)の冒頭のかっこよさは，個人的には
＃目から鱗というかセンスオブワンダーだったんだけど。
＃ *: ランダウ＝リフシッツ理論物理学教程 力学,
＃　　ランダウ リフシッツ 1974, 東京図書

ん？　でも，そもそも，物質，より正確には，エネルギー運動量
テンソルで時空がグニャリと曲がるのが重力だ，という
イメージは，皆様すでにお持ちだったのでは？

そんな一般相対論での，重力場中の(静止)質量m₀の粒子の
持つエネルギーは，E = m₀c²γ√(-g⁰⁰)
で与えられる訳で，質量Mの質点の周りの重力場，つまり
シュヴァルツシツルト外部解だと重力テンソルの
00成分 g⁰⁰ = -(1-2GM/c²r) となって，
重力による位置エネルギーはここに入ってくる。

つまり，特殊相対論で，E = m₀c²γ から，γを展開することで，
ニュートン力学での運動エネルギーに相当する項が出てきたのと
同様に，この√(-g⁰⁰) 部分を展開してやることで，
ニュートン力学での重力による位置エネルギーに相当する項が
出てきて，メデタシメデタシ。

このとき，(一般)相対論的質量 E/c² は，
m = m₀γ√(-g⁰⁰)
となって，係数γが，特殊相対論でもあった，運動(エネルギー)による質量増加。
重力による位置エネルギーによる質量増加が最後の係数√(-g⁰⁰)。

で，トップをねらえでも出てきたウラシマ効果も，同様に，
運動による時間の遅れがγで，重力場による時間の遅れが
√(-g⁰⁰)で効いてくる訳で，時間が遅れることと
質量が増加することがこんな風にカップルする訳です。

＃手元に場古典か内山があれば，よかったんだけど。

（いきなり余談ですが、×指令○司令ですね）

えーと、玄人集団が活動しはじめているいま、横好きプログラマ風情が口を挟むこともないのですけど:)。

新木さん＞
＞さて究極の「時間遅い」状態がなにかというと、「時間停止」の状態ですね。
＞この状態では、砂粒ひとつといえども「絶対」に動かすことはできません。つまり質量無限大です。（重力無限大でもあるので実際には達成不能だけど）

「時間停止」状態を実現しているところは、幸か不幸か人類が直接に確認したことこそありませんが、存在します。ブラックホールです。いわゆる事象の地平面。
時間の進み方を決めるのは重力の大きさそのものではなくて重力ポテンシャルでして、有限の質量でもごく狭い範囲に集中すれば達成できます。具体的にはシュバルツシルド半径2GM/c²の中に収めればいい。
（そういえば「トップをねらえ」に出て来た縮退炉は燃料を重力崩壊させてエネルギーを取り出す、ことになってましたが…エネルギー収支はプラスになるのかな？）

ブラックホールじたいは動かすことができるし、慣性質量無限大ということもないです。

で、質量ですが。
ともかく砂粒や地球ではなくて「重力場のエネルギー」として貯えられ、「砂粒＋地球」ぜんたいを動かしにくく＝重たくしている、と理解するのがよいんじゃないかと思います。
一般相対論に曰く「エネルギーが重力場の起源である」ことになっている（と思った）ので、下手に考えると無限ループでどんどん膨らんで行きそうなのですが…最上さんが手ぐすねひいてる気配がしますので、期待してお待ちすることに致します。

REMアウト航法＞
ありがたく頂戴します:)。記念にとっておきます。
えーと、「美葉」だと、戦争好きな狼型宇宙人の「見つからなきゃばれない航法（正式名称失念）」が傾向として近いかな？

自転車の立ちこぎ＞
重心が上下左右にぶれるので、エネルギー的にはむしろ損失でしょうね。
すると、そうやった方がより駆動力が出せるのは、体重移動ではなくて全身運動に起因する…のでしょうか？


うーん、意識して（）を使ってみましたが、なんかむずむずするのはなぜだろう^^;;。

＞砂時計の上と下

　上にある（重力場の弱い位置にある）砂粒が、下に落ちると（重力場の強い位置に移動）、時間速度の違いから質量は減少する。それは砂粒に蓄えられていて、放出されたエネルギーと等しい。いわゆる「質量欠損」はここでも起きている。

　――というのは、まったくの「逆」であることが判明しましたか。


　早合点が早合点であったことを検証するために、人の頭に頼らずに、自分の頭で考えてみます。

　砂時計の上――重力ポテンシャルが低い。→時間が速い。
　砂時計の下――重力ポテンシャルが高い。→時間が遅い。

　同じ砂粒ひとつが、時間が速い場所と、低い場所とに置かれるわけです。


　さて究極の「時間遅い」状態がなにかというと、「時間停止」の状態ですね。
　この状態では、砂粒ひとつといえども「絶対」に動かすことはできません。つまり質量無限大です。（重力無限大でもあるので実際には達成不能だけど）

　このことから、時間が遅くなるにしたがって、質量は増えてゆくことがわかります。

　よって、砂粒が上にあるときは質量大で、砂粒が下にあるときは質量小――というのは、間違いであることがわかりました。
　下にある砂粒のほうが、時間が遅く流れているぶんだけ、質量は大きいはずです。



　早合点してエウレカしてしまって、恥ずかしい限りです。ううう。

　しかしまあ、ゼンマイに力が蓄えられた場合には、原子（分子）間の電場に歪みが発生する。ゼンマイを構成する全原子に加えて、その「場」を動かすためには余分の力が必要であり、それが質量増大として観測される、てな説明のほうは、理解した――つもりです。こんども早合点でなければいいのですが。




＞この話題

　ところで、親友の「ＳＦマニアなノベライズ作家」に、この踏み絵をさせてみました。
　普段は野尻ボードを読んでいる人間なのですが、最近は仕事が立て込んでいて読んでなかったのでちょうど良いです。

Ｑ１．巻き上げたゼンマイと、運動エネルギーを解放しきったゼンマイとでは、どちらの質量が大きいか？
Ｑ２．砂が落ちきった砂時計と、ひっくり返して砂が上にある状態の砂時計では、どうか？
Ｑ３．電荷の溜まったコンデンサーと、放電しきったコンデンサーではどうか？

　はじめ、Ｑ１を質問してみましたところ、「同じなんじゃないの？」と返ってきました。
　そうでないことを得意げに語ってやりましたところ、「嘘だぁ」と言って、まるで信じません。
　そして彼は自分のほうから、思考実験の別バリエーションとしてＱ２とＱ３を出してきました。このへんはさすがです。
　しかしその条件でも、質量変化が起きることを、野尻ボードで偉い人の解説を受け売りして伝え、説明を施しましたところ……。
　正しく「質量とエネルギーの等価関係」の理解に至ったもようです。

　なんか心配になってきました。
　野尻さんでさえ、はじめ、間違えていたくらいですし。
　このことって、ＳＦを書いている作家でも、案外、知らないことだったりするのではないかと……。

　物理学をやっている人のように、Ｑ１〜Ｑ３のケースで質量変化が起きることが「あたりまえ」として分かっていて、その説明も「無論ながら」行える人って、いったいどのくらい、いるもんでしょう。





＞「＃」

　なるほど。やはりＲＥＭ文ですか。ＵＮＩＸのＳＨＥＬＬですか。
　由来まで教えていただきまして、ありがとうございます。

　方言か一般的用法かというと……。どうなんでしょう？
　数学者、物理学者、プログラマー、コアインターネットユーザー――などが多い場所では、一般的であるかもしれません。
　他の場所ではあまり見かけないものであるのは――。はじめ僕が理解できていなかったことから察せると思います。けっこうあちこち出回っているつもりですが、ここ以外の場所で見た記憶はありませんでした。
　一般的に余談的内容を示す意味でなら、ただ（）でくくったほうが通じやすいかと思います。

　では教えていただいたお礼（になるのか？）に、馬鹿話を一発。

　誰かの額に「＃」のマークを書きこんだりすると、そこに「魔術的意味」が生じて、その人物はＲＥＭアウトされて、他人から認識されなくなるとか。

　「＃」と書いた物体の質量は無視されて、慣性がなくなるとか。
　慣性がゼロであれば光速の壁を突破することも問題なく可能となるので、人類は超光速航法を手にすることになる――とか。

　そういうネタに使えるかなぁ。どうかなぁ。だめかなぁ。
　そういや「ＲＥＭアウト航法」ってのは、「ギャラクシートリッパー美葉」にも出てきてなかったなぁ。

重力のある場合、つまり一般相対論の絡む場合がいちばん面白そうなので、はやく議論したかったのは山々だったのですが、特殊相対論で済む場合を解決せずにやるのは混乱の元だろうということで、電磁的で特殊相対論の場合について用意していたのですがうまく簡潔な説明を作れませんでした。しかし前野さんのコンデンサは簡潔かつ要を得ていて感銘を受けました。

さて、

＞「高いところの砂粒の方が質量が大きい」というのは、大雑把に言えば「高いところにある」＝「エネルギーが与えられている」＝「質量が増えている」

いえ、やはり重力によるポテンシャルエネルギーの場合は「エネルギー」＝「質量」と言うのはちょっとまずいように思います。
たざきさんが書いていたとおり「ちょこっと押したときの加速度から岩の質量を求める」という意味での「岩の質量は高さには依存しない。」と思います。

それにもかかわらず、地球と岩を含む系を遠くからみると岩の高さによって質量が変わるはずで、こういうパラドキシカルなところがいかにも一般相対論らしいところです。

　えっと、皆様が集束方向に進む中、取り残されている人もいる。私の事ですけど(;;)。
　（と言いますか、理解不能でうっちゃりor早合点している事が大量にある自分に気がついたというか。）

　表題の通りな頭なので、目に見えてエネルギー／質量の変換が実践された例を思い浮かべる事にしました。

　http://jem.tksc.nasda.go.jp/iss_faq/go_space/step_5.html#k15
　（宇宙の不思議　うそ、ほんと。コラム15　「スイングバイって何？」）

　たぶんこれをきっちり理解して、結果として、
　・土星　　　　　::減速。質量減少
　・ボイジャー２号::加速。質量増加
　が問題なく受け入れられる知識を持てば、位置／運動エネルギーと質量の関係を理解した・・・
　事になるのだろうか？（鬱）。

　実はこのコラムを見る迄、スイングバイと言うのは、
　「惑星公転方向の後ろから接近する事により長時間惑星の重力圏に居て、
　　惑星重力に牽引される事により増速。
　　その後、短時間で惑星重力圏を離脱する事で減速分を減らしその差分だけ加速を得る。」
　だとばかり思っていたのは内緒＞私。
　（あ、勿論どうにも腑に落ちない状態で完全に納得していた訳ではないのです。
　　http://www.isas.ac.jp/j/enterp/missions/nozomi/traject.htmlの左側の図（のぞみの計画軌道）が
　　牽引では説明つかないし。
　　視点（系）が変化すると言う考え方をしていなかった。）

　今回の件で新たに発生した疑問としては「ウランの塊が熱を放って軽くなる」と言う事は、
　ボイジャーの核電池はどんどん軽くなってバランスが変わるって事かい？。みたいな話。
　（燃料消費によるバランス変化の方が大きいし、カメラの様な駆動部もあるので、
　　誤差の範疇内なんでしょうけれど。）

　等速運動中の物体から部分的に質量欠損が発生した場合の姿勢／速度変化はどうなるのか？が気になりました。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一応、電気磁気学も習ったのに忘れてるなぁ(;;)。　Off-Sp-I

＃そういえば、のぞみの回路切断は成功したのだろうか？。

位置エネルギーというのは結果のことである、と理解した方が良いようです。
高い位置にあるから高いエネルギーを持っている、ではなくて、先にエネルギーを与えたから結果として高い位置にあり、その状態を位置エネルギーを持っている、と表現する、ということのようです。

だから「高いところの砂粒の方が質量が大きい」というのは、大雑把に言えば「高いところにある」＝「エネルギーが与えられている」＝「質量が増えている」ということであたりまえというかある意味ナンセンスな設問と言うべきことなんですね。

突然頭上に木星が現れたような場合について言えば、位置エネルギーが変化して質量が増減したりするかもしれませんが「突然頭上に巨大質量が現れる」ことがあり得るとするなら、そのそばの物体の質量が増減したとしても不思議はない、と言っていいのかな？

何度か掲示板を読み返してうんうん考えてこういう理解をしましたがあっていますでしょうか？
正直、質量の定義とか言う話までになるとまるでついていけませんので、ここで使った質量という言葉の使い方が正しいかどうか自信はまるでありませんが素人の大雑把な理解ということでお願いします。

　位置エネルギーが仮想だ、と言いきられてしまうと非常に違和感があるとい
うか、ちょっと変。

　重力の場合はややこしいので、電磁場の場合で位置エネルギーの「実体」を
示しましょう。

　電荷Qと電荷qがr離れてあると、kQq/rの位置エネルギーがある、と言います
わな。「鳴るのはどっち？」ってわけでこのエネルギーに対しても「この
kQq/rはどっちが持っているの？」と質問することができますわな。これに対
してこう答えることができる（ような気がする）。

「正電荷をおいておけば、反発して動きだす。この運動エネルギーと等しいエ
ネルギーをあらかじめ持っている、と議論のために便宜上仮定する」（あきら
さんが重力の位置エネルギーに関して述べていることをちょっと改変して使わ
せてもらいました）

　こういう仮想的なものだと考えておけば、「誰が持ってる？」なんて考えて
はいかん、ということになって丸くおさまる（ような気がする）。

　ところが今の場合、このエネルギーを持っている実体をちゃんと特定するこ
とができます。その実体はQでもqでもありません。

　電場Eは、単位体積あたり1/2 εE^2の密度でエネルギーを持ちます。今も
し、、Qだけが存在していたとしたらEという電場（ベクトルです）を作るとし
ます。同様にqだけが存在していたとしたらeという電場を作るとします。両方
が存在していたら、エネルギーは単位体積あたり1/2 ε(E+e)^2の密度となり
ます。このエネルギーから、単独で存在していた場合のエネルギーを引くと、

1/2 ε(E+e)^2 - 1/2 εE^2 - 1/2 εe^2 = εEe

となります（最後のEeはベクトルの内積です）。つまり、二つの電荷があるこ
とによって、まわりの空間にある電場のエネルギーはεEeだけ大きくなる。
これを全空間で積分するとちゃんとkQq/rになります。

　計算はめんどいので省いて、たしかにこれが静電エネルギーのような性格を
持っていることを定性的に説明しときます。

　もしQとqがどっちも正電荷だとすると、Eとeはほとんどの場所で同じ方向を
向きますから、εEeはたいていの場所で正となる。つまり「正電荷二つが存在
しているとエネルギーが増える」。この二つが離れると、Eとeが同じ方向を向
いている割合が減ります（Qとqの間にあたる部分では逆向いたりする）。つま
り、Qとqが離れるほどεEeの積分量は小さくなる、つまり「正電荷が離れると
エネルギーが減る」。

　Qとqが逆符号の場合、ほとんどの点でEとeが逆を向き、εEeはマイナスにな
り、エネルギーを下げます。Qとqが近づくほどEとeが同じ方向で逆向きになる
度合いが上がるので「正電荷と負電荷が近づくとエネルギーが減る」。

　で結論ですが、電荷の場合の位置エネルギーは、回りの空間にできている電
磁場が持っています（正確には、電荷単独の場合の電磁場のエネルギーとの差
をとったものが位置エネルギーになるわけですが）。つまり、各点各点で電場
を測定してやることで実測することができる「実体のある量」です。

　なお、重力場でも重力場のエネルギーを持ってきて計算すれば同じようにで
きるはずです。計算はややこしくなりますが（というより重力場のエネルギー
の定義ってのがすでにややこしいんですが）。

　それと、重力場の場合、位置エネルギーには「その場所での時間の進み具合
い」という時空的解釈があったりするのでややこしい。ややこしいけど、重力
場の位置エネルギーは時間の進み具合いと関係するという意味があるという点
でも仮想的ではない、ということは言えると思います。

　うーん、重力の話は混乱しやすい(;_;)。

ずいぶん久しぶりに書き込みます。
(本名では書いていないかもしれません…)

私も100%の確信があるわけではありません。間違いがあればご指摘ください。

野田篤司さんの書き込み
>同じく、高いところにある砂粒の１センチと、低いところの砂粒の１センチも異なります。
>そして、高いところにある砂粒の１グラムと、低いところの砂粒の１グラムも異なるのです。
>この結果、高いところの砂粒のほど質量が大きくなります。

それはうまくいかないでしょう。

慣性運動する系では、時間が遅延し、質量が増大します。
重力ポテンシャルの低みにある系では、時間が遅延し、質量が減少します。

つまり、逆です。
時間の変化は質量の変化に無関係であることが示唆されます。

長さの変化も無関係でしょう。
長さの変化は異方的ですが、質量が異方的に変化すると困ります。

時間変化と質量変化の関係を示すため、こんな思考実験をしてみました。

質量の測定器として、バネ質量振動ばかり(spring mass oscillation system)を
使います。
この装置は、測定したい質量をバネに繋いで振動させ、周波数を測ります。
軽ければ周波数が高く、重ければ周波数が低いです。

時間が遅延した系での質量測定を観測します。
(長さの変化を無視するため、全ての作業を、運動/重力の方向に垂直な面内でします)
時間が遅延しているので、バネの振動も遅延し、周波数は低くなります。
つまり、質量は重くなります。

いっぽうで、バネ定数も変化します。
このバネは、ある長さに伸ばしたとき、静止系にある相当品よりゆっくり収縮します。
つまり、このバネは弱いのです。
もし周波数が変化しなければ、質量は減少しています。

この2つの効果は、ちょうど打ち消しあいます。
時間の遅延で、質量は増大も減少もしません。

運動する系で質量が増大するのは、運動量保存則からの要請です。
同じ作業を低重力ポテンシャル系に対し計算すれば、質量減少が導出できるかも
しれません。
(それはつまり、一般相対論の導出の一部なのでしょうが…)

あのー
質量と速度とエネルギーの関連ですが
速度は相対的な物と絶対的な物でどう変わるのでしょうか？
ばかでっかい物に小さい物が落ちていく大きい物から見れば
小さい物が落ちてくるように見えてもちっこい物が実は止まっていて
でっかい物がすっごい速度でせまってきている？
地球上で考えて地球を基準に見れば納得できてもさらに、とんでもでかい
星などから見ればこれも謎です。
何処が、何が基準になるのでしょうか？

数式を使わずに説明出来なきゃ，ほんとに判ってるとはいえないと
仰るエライ先生もおられますが，私には無理なので。

F = ma で質量を定義しましょうというと，単純に考えると
F = m (dv/dt) で定義したことになるわけで，この場合は
運動方向に力を受けた場合は， m = m₀ γ³ になるし，
運動方向に垂直に力を受けた場合は， m = m₀ γ となる
のが，ちょっとした計算で出ます。で，これが，野尻さんが
仰ってた縦質量と横質量というやつです。1905年論文で既に
出てきていたような気がします。なお，記号は，慣習に
従ってますが， m₀ が(静止)質量で，γ=1/√(1-(v/c)²)
です。

こういうヤヤコシイ事情があるから，「ゆっくり」とか
「ちょこっと」みたいな枕詞が出てきたんじゃなかろうかと
思います。

もちろん，相対論的に正しい運動方程式，つまり
特殊相対性原理を満たす(=共変な)運動方程式は，
Fⁱ = dpⁱ/dτ, pⁱ = m₀ uⁱ, uⁱ = dxⁱ/dτ
Fⁱ:四元力，pⁱ:四元運動量，uⁱ:四元速度，τ：固有時
m₀ は(静止)質量。
ここで，dt=γdτ であるから，
pⁱ = m₀dxⁱ/dτ = m₀ γ dxⁱ/dt = (m₀ γ) vⁱ
となって，この m = m₀ γを（相対論的）質量と呼んだのでした。

そして，四元運動量の第0成分p⁰こそ，
エネルギー（をcで割ったもの）で，
E = cp⁰ = c m₀ dx⁰/dτ = cm₀ cdt/dτ=m₀γc²
となって， E = mc² が得られるのでした。

アドバイス、身に余る光栄です。
一枚の防護衣が織り成す壮大な物語が、さっそく頭に浮かんで参りました。
原稿用紙、約400枚くらい。
富士見書房に持ち込みしてみようかな。

♯ある夜、夜空を焦がすほどの流星雨が−

度重なる散文失礼致しました。
ROMに戻ります。ありがとうございました。

あきらさんの「位置エネルギーというのは仮想のものでは？」が理解しやすかったです。
仮想というより、まさしく潜在的なものですね。
落ちる距離と重力加速度によって運動エネルギーに変換されるのでしょう。

だから、地面に落ちている物体もビルの屋上にある物体も、ただ、そこにあるだけではエネルギーを含有していないし、質量も変わらない。
後者はビルの屋上から落して、ビルの屋上から地面に落ちる距離の間で重力加速度によって速度を得て、これが運動エネルギーになる。もしその物体にパラシュートがついていれば得られる速度が少ないから、同じ高さから落したにも関わらず得られる運動エネルギーは少ない。
前者も、そのままではエネルギーは無いが、その地面の下に穴を掘り、その穴に落せば穴の底に到達するまでに運動エネルギーを得る。
頭上に突然、木星が現れたら、地球の地面から木星に到達するまでに木星から加えられた重力加速度によって運動エネルギーを得る。

物理的に合ってるのか不安ですが…

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